Abstract FR:

Dans cette thèse, je m'intéresse aux propriétés de premier passage en milieu confiné, dans le cas d'une diffusion normale ou anormale. Dans le cas d'une marche aléatoire discrète et d'un domaine confinant rectangulaire ou parallépipédique, des formules exactes sont obtenues pour le temps moyen de premier passage, la distribution du temps d'occupation, et, dans le cas à deux cibles, pour le temps d'absorption et les probabilités de ``splitting''. Pour un domaine confinant plus général, la méthode utilisée permet d'obtenir des approximations utiles. Pour un domaine confinant 3D, il est également possible d'obtenir la distribution du temps de premier passage. On étudiera ces mêmes quantités dans le cas du mouvement brownien. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la diffusion anormale. J'étudierai la distribution du temps de premier passage pour un modèle de marche aléatoire en temps continu, ainsi que pour un modèle d'équation aux dérivées fractionnaires; le modèle des pièges aléatoires sera également étudié; enfin, je déterminerai, dans un cadre très général, puisqu'il inclut les fractales, les vols de Lévy et la diffusion normale, la loi d'échelle respectée par le temps moyen de premier passage en fonction des paramètres du problème. Le problème à deux cibles sera également brièvement considéré dans le cas de la diffusion anormale.