Abstract FR:

Les théories de jauge comme la théorie de yang-Mills et de Chern-Simons sont utilisées comme bases de nombreux modèles de physique des particules, de physique de la matière condensée et même dans les approches récentes de quantification canonique de la gravitation. Bien que de nombreux progrès aient été effectues dans la compréhension de ces théories, beaucoup de problèmes subsistent encore, parmi lesquels les problèmes de brisures de symétries dans le modèle standard, les problèmes lies a l'étude du régime de couplage fort de la chromodynamique quantique et de la dynamique d'objets étendus associes a des boucles, et enfin les problèmes liés au programme de quantification de la gravitation réclamant une meilleure compréhension de la quantification des algèbres de poisson liées a des boucles et de la combinatoire issue de l'imposition des contraintes. C'est dans ce cadre que s'inscrit cette thèse. Apres un bref rappel des divers objets et méthodes utilises pour l'étude des théories de jauge en basses dimensions ainsi que des notions de structures de lie-poisson et de leurs quantifications, nous sommes conduits à nous pencher sur le problème de la reformulation des théories de jauge en termes de quantités invariantes de jauge associées a des boucles. L'objectif principal de cette thèse est de décrire complètement, puis quantifier, la théorie de Chern-Simons en termes de boucles. Cette théorie de jauge possède la propriété de ne posséder que des degrés de libertés dynamiques globaux. Aussi la description cinématique des boucles suffira pour cette étude, et, en vue de décrire la quantification de cette théorie, il semble astucieux de nous réduire dès le début a un certain nombre fini de variables dynamiques qui simuleront le comportement de la connexion toute entière. Ceci constitue le programme de quantification combinatoire de la théorie de Chern-Simons, qui est l'achèvement principal de cette thèse, mettant au passage au jour une théorie de jauge sur réseau dont le groupe de jauge est un groupe quantique, et qui n'est autre qu'une description sur réseau de la théorie de Chern-Simons. Nous poursuivons l'étude non-perturbative de cette théorie grâce a notre méthode combinatoire. En particulier nous mettons au point une méthode pour définir et calculer les valeurs moyennes des opérateurs de cette théorie, et l'étude des représentations unitaires de ces algèbres nous conduit a une méthode canonique pour décrire le spectre des états, le produit scalaire et l'algèbre des opérateurs de cette théorie, ouvrant ainsi une nouvelle voie dans l'étude de la quantification canonique de la gravitation et des théories de yang-mills en basses dimensions. Cette approche nous permet au passage de mettre a jour une nouvelle approche du problème du couplage des fermions a la théorie de Chern-Simons, et un nouveau type de théories de jauge basées sur une géométrie non-commutative