Systèmes intégrables et algèbres de réflexion dynamiques
Institution:
Cergy-PontoiseDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is a contribution to the study of different dynamical quadratic algebras and their applications to integrable systems. Dynamical quadratic algebras are generalizations of the reflection algebra introduced by Cherednik to deal with integrable systems on the half-line, and more generally with integrable systems with open boundary conditions. We define two dynamical quadratic algebras : fully dynamical and semi-dynamical. The former is a simple generalization of the boundary elliptic quantum group, the latter is a new structure. We show in both cases how to build families of commuting Hamiltonians as quantum analogues of the trace of powers of the classical Lax-matrix. We also show, making use of the comodule structure which we elucidate, how to construct spin chain type Hamiltonians using the representations of these algebras as building blocks. These results are self-contained in the sense that they make no use of the vertex-IRF correspondence linking dynamical and non-dynamical algebras.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l'étude de différentes algèbres quadratiques dynamiques et de leurs applications aux modèles intégrables. Les algèbres quadratiques dynamiques sont des généralisations de l'algèbre de réflexion introduite par Cherednik pour traiter des systèmes intégrables sur la demi-ligne et plus généralement des systèmes intégrables avec des conditions aux bords ouvertes. Nous définissons deux algèbres quadratiques dynamiques : totalement dynamique et semi-dynamique. La première est une simple généralisation du groupe quantique elliptique à bord, la seconde est une structure nouvelle. Nous montrons dans les deux cas comment construire des familles de Hamiltoniens commutants comme des analogues quantiques de la trace de puissances de la matrice de Lax. Nous montrons aussi, en se servant de la structure de comodule que nous élucidons, comment construire des Hamiltoniens de type chaîne de spins en utilisant les représentations de ces algèbres comme des briques élémentaires. Ces résultats sont indépendants de l'existence de la correspondance vertex-IRF qui relie les algèbres dynamiques et non dynamiques.