Abstract FR:

Une description geometrique de l'action d'une matrice reelle 22 symplectique sur des vecteurs du plan nous permet d'introduire la notion de forme normale d'une matrice symplectique. Nous utilisons cette notion a la fois pour etudier le plus grand exposant de lyapounoff et le nombre de rotation pour les produits infinis de matrices. Tout d'abord nous transformons l'action de produits infinis de matrices sur un vecteur en une marche sur des arbres constitues de chemins ponderes. Puis nous calculons exactement le plus grand exposant de lyapounoff pour un produit binaire d'une matrice singuliere et une matrice reelle 22. Nous utilisons la description geometrique pour majorer et minorer le plus grand exposant de lyapounoff, et trouver des lois d'echelles. De l'autre cote en utilisant la representation graphique nous obtenons des bornes exactes pour le plus grand exposant de lyapounoff. Dans la seconde partie, nous commencons l'etude du nombre de rotation par donner un nouveau algorithme pour calculer cette quantite. Puis nous utilisons cet algorithme pour donner les premiers termes d'un developpement du nombre de rotation pour les produits binaires infinis de matrices symplectiques aleatoires, suivant les parametres de la distribution de probabilite utilise pour choisir les matrices des produits. Enfin nous donnons une relation de dualite entre des produits elliptiques de matrices symplectiques et des produits hyperboliques de matrices symplectiques