Abstract FR:

Les methodes de reduction et d'induction dans la geometrie symplectique et de poisson, ainsi que leurs applications, sont l'objet de cette these. Nous etudions une classe speciale de polarisations associees a un produit semi-direct et la validite de la condition de pukanszky pour ces polarisations. La structure des orbites coadjointes des produits semi-directs s'avere particulierement interessante : en effet, nous demontrons que ces orbites peuvent etre obtenues par induction symplectique. Nous generalisons ensuite la reduction de marsden-weinstein des systemes hamitoniens a symetrie, dans la categorie des varietes graduees. Nous definissons les actions libres, propres et symplectiques dans le contexte gradue et l'application moment pour les actions symplectiques des groupes de lie gradues. En appliquant la reduction graduee dans des cas particuliers, nous obtenons les orbites coadjointes des groupes de lie gradues et nous definissons les espaces projectifs gradues. Nous proposons finalement une generalisation des techniques de reduction et d'induction dans le contexte de la geometrie de poisson. L'etude des actions de poisson des groupes de lie-poisson sur les varietes symplectiques, montre clairement la relation entre l'equivariance de l'application moment d'une telle action de poisson et les extensions centrales des bigebres de lie et des groupes de lie-poisson. Un analogue de lie-poisson de la methode brst classique est propose, en appliquant l'induction de poisson avec un groupe de lie-poisson et son groupe double.