Abstract FR:

Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul des branches solutions des équations stationnaires de Navier-Stokes par une méthode asymptotique numérique (man). Sur les branches de solutions ainsi obtenues, nous proposons des indicateurs de bifurcation stationnaire et de Hopf qui nous permettent de déterminer les points singuliers de l'écoulement fluide. La man est l'association d'une méthode de perturbation et de la méthode des éléments finis. La méthode de perturbation permet de transformer le problème non linéaire initial en une succession de problèmes linéaires qui admettent le même operateur tangent. Les systèmes linéaires sont ensuite résolus de façon récursive par la méthode des éléments finis, une seule décomposition de matrice est alors nécessaire pour déterminer analytiquement une partie de la courbe solution. Le premier chapitre de cette thèse est consacrée a des rappels sur la man et sur la méthode de continuation pour le calcul des branches solutions des équations stationnaires de Navier-Stokes. Le deuxième chapitre porte sur l'application de la man à la formulation Petrov-Galerkin pour les équations de Navier-Stokes. La difficulté de ce problème est de se ramener à un formalisme quadratique. Lorsque cela est réalisé les notions développées au premier chapitre sont alors appliquées. Les troisième et quatrième chapitres sont consacrés a la détermination des points singuliers sur les branches solutions. Deux types d'instabilités sont étudiés, les bifurcations stationnaires et de Hopf. La détermination de ces points s'effectue grâce à des indicateurs de bifurcation. Des exemples d'écoulement de fluide permettent de démontrer l'efficacité et la fiabilité de ces indicateurs. Dans le dernier chapitre nous appliquons les outils numériques développés aux chapitres précédents pour traiter un problème d'interaction fluide-structure : un tube cylindrique soumis à un écoulement transverse. Les équations du mouvement du tube et du fluide sont décrites à l'aide du formalisme arbitraire Lagrange-Euler