Abstract FR:

L'étude des schémas numériques pour les équations d'Euler compressibles est un préalable à la simulation d'écoulements visqueux par les équations de Navier-Stokes. Elle a été décomposée en trois étapes : l'étude des schémas existants, leurs fondements, qualités et défauts ; l'analyse de la propriété convoitée de positivité ; et l'étude de phénomènes encore mystérieux, considérés comme pathologiques et nommés carbuncle. Dans la première partie, un regard critique mais constructif est porté sur la plupart des schémas décentrés : les schémas FVS, FDS, les méthodes intégrales ou hybrides. Des variantes sont proposées dans le but d'améliorer ces méthodes. Dans la seconde partie, une caractérisation théorique de la robustesse est détaillée, en particulier dans le cadre des schémas FVS : la positivité. Une condition nécessaire et suffisante est exhibée. Elle permet de démontrer la positivité des schémas de Steger et Warming et de deux formulations du schéma de van Leer. De plus, l'incompatibilité de cette propriété avec la résolution exacte des discontinuités de contact est démontrée pour les schémas FVS. Après une description du phénomène du carbuncle, la troisième partie est consacrée à une étude approfondie du comportement des schémas. Enfin, une analyse précise du caractère instable du phénomène sera fournie et comparée avec les résultats théoriques récents de Robinet (1999).