Transport anormal de traceurs passifs en milieux poreux hétérogènes : équations fractionnaires, simulation numérique et conditions aux limites
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Abstract EN:
In a number of disordered porous, solute spreading does not obey Fick's law. The latter describes the evolution of a plume of tracer. When initial data represent a local impulse, the concentration is a Gaussian variance is proportional to time. Experimental data obtained in aquifers have put into evidence qualitatively different behaviors, replacing Gaussians by stable Lévy densities, which also are non increasing functions. But in the large values asymptotics, they behave algebraically, and in general the second moment does not converge. Moreover, stable Lévy densities are the fundamental solutions of a wide class of partial differetial equations, which are space-fractional equations. They resemble heat equation, with the Laplacean being replaced by a derivative of non-integer order. They also rule the evolution of the concentration of a cloud of random walkers performing Lévy flights, wich are more general than Brownian motion, with the jump length density being a stable Lévy law. All these point are detailed in the thesis. The main results concern the spreading of matter in a semi-infinite medium where the motion of tracer particles is described by Lévy flights (on the small scale) except when they meet the boundary. With a reflexive wall, it is necessary to modify the kernel of the fractional derivative on the right hand-side of the equation ruling the evolution of the concentration of walkers. The theoretical result is illustrated by a Monte Carlo simulation, and compared with the numerical discretization of the fractional equation in a semi-infinite medium
Abstract FR:
Dans de nombreux milieux poreux désordonnés, la dispersion de soluté n'évolue pas en accord avec la loi de Fick. Cette dernière prévoit l'évolution d'un panache de traceur à partir de données initiales modélisant, en particulier, une injection localisée. Alors, la concentration est une Gaussienne dont l'écart type est proportionnel à la racine carrée du temps. Des données expérimentales obtenues dans des aquifères ont mis en évidence des comportements qualitativement différents, remplaçant les Gaussiennes par des lois stables de Lévy. Celles-ci sont aussi des fonctions décroissantes, mais leur comportement asymptotique est celui d'une puissance, et en général leur second moment ne converge pas. Or les densités des lois stables de Lévy sont les solutions fondamentales d'une vaste classe d'équations aux dérivées partielles. Il s'agit des équations fractionnaires en espace, obtenues à partir de l'équation de la chaleur en remplaçant le Laplacien par une dérivée d'ordre non entier. D'autre part, ces équations régissent l'évolution de la concentration d'une population de marcheurs aléatoires effectuant des vols de Lévy : ces derniers généralisent le mouvement Brownien, avec, pour la densité des longueurs des sauts, une loi stable de Lévy. Ces point sont détaillés dans la thèse. Les principaux résultats concernent la dispersion dans un milieu semi-infini au sein duquel, tant que les particules de traceur n'approchent pas la frontière, la dispersion est décrite par des vols de Lévy, à petite échelle. On montre qu'avec une paroi reflexive, il est nécessaire de modifier le noyau de la dérivée fractionnaire présente dans l'équation régissant l'évolution de la concentration des marcheurs. Ce résultat théorique est illustré par une simulation de type Monte Carlo de cette évolution. On compare avec la simulation numérique de l'équation fractionnaire en milieu semi-infini