Algorithmes de transformées discrètes rapides pour convolution cyclique et de convolution cyclique pour transformées rapides
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
First, we present the fast transforms to be considered in the following (Number Theoretic Transforms - NTT -, Fast Fourier Transforms - FFT -, Polynomial Transforms - PT -, Discrete Cosine Transforms - OCT -) in a unified manner. Then, we use the link between NTT and PT to propose a new family of NTT with 2 as a root of unity which includes classical ones (Fermat, Mersenne, etc. . . ), but also includes new ones, which allow transforming longer sequences for a given dynamic range. We also establish a decomposition property of the arithmetic in this family of NTT's. We also propose a set of NTT algorithms with minimum number of shifts. Next, for the computation of FFT's, we introduced the "split-radix" algorithm. Application of this algorithm to complex, real or real-symmetric data requires in each case the smallest known number of operations (multiplications and additions), with a regular structure. We also showed that any improvement of one of these algorithms would also bring a corresponding improvement of the other ones. Furthermore, we showed that their structure is very similar to that of the optimum (minimum number of multiplications) algorithm. The search for minimum multiplication DCT algorithms enabled us to show the equivalence between a 2n DCT and a cyclic convolution. We used this equivalence to propose two new architectures for DCT computation. The first one presents the advantage of needing only one general multiplier per point, but necessitates modulo-arithmetic. The second one, based on distributed arithmetic, has a very simple structure that can be used also for other fast transforms (FFT, e. G. ).
Abstract FR:
Nous présentons tout d'abord les différentes transformées qui seront considérées dans ce travail (Transformées en Nombres Entiers - TNE -, Transformées de Fourier - TFR -, Transformées polynomiales - TP -, Transformées en Cosinus Discrètes - TCD -) de manière homogène. Puis, nous utilisons le lien entre TNE et TP pour proposer une nouvelle famille de TNE avec 2 comme racine de l'unité incluant des transformées classiques (Fermat, Mersenne, etc. . . ), mais aussi de nouvelles transformées de plus grande longueur pour une dynamique donnée. Nous montrons également une propriété de décomposition de l'arithmétique dans cette classe de transformées. Nous proposons également un ensemble d'algorithmes de TNE à nombre minimum de décalages. Dans le cadre des TFR, nous avons proposé un algorithme connu sous le nom de "split-radix". L'application de cet algorithme à des données complexes, réelles, ou réelles et symétriques a permis d'obtenir les programmes demandant à chaque fois les nombres d'opérations (multiplications et additions) les plus faibles connus, tout en gardant une structure régulière. Nous avons pu montrer que toute amélioration éventuelle de l'un de ces algorithmes se traduirait par une amélioration correspondante sur tous les autres. D'autre part, nous avons montré que leur structure était semblable à celle des algorithmes optimaux vis à vis du nombre de multiplications. La recherche d'algorithmes de TCD à nombre minimum de multiplications nous a permis de mettre en évidence l'équivalence entre une TCD de longueur 2n et une convolution cyclique. Ceci nous a conduits à proposer deux nouvelles architectures de TCD : l'une présente l'avantage de ne nécessiter qu'une multiplication générale par point de calcul, mais nécessite un arithmétique modulo. L'autre basée sur l'utilisation de l'arithmétique distribuée, présente une structure très simple, réutilisable pour d'autres types de transformées rapides.