Métamorphoses de systèmes Hamiltoniens avec symétries
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Abstract EN:
In this work we study four classical Hamiltonian systems with discrete or continuous symmetries using methods and techniques that have been developed in the last decades. Three of these systems are Hamiltonian families which model molecular and atomic systems. These systems are the triply degenerate vibrational mode of tetrahedral molecules, the hydrogen atom in crossed electric and magnetic fields and the floppy molecule LiCN. The hydrogen atom is described naturally as a two parameter family where the parameters are the strengths of the two fields. The other two physical systems are described as specific members of more general parametric families. We use normalization (when appropriate) and reduction in order to reduce the number of degrees of freedom of these families. We focus on certain qualitative characteristics of these systems, namely, relative equilibria, Hamiltonian Hopf bifurcations and monodromy and the metamorphoses of these characteristics in different parameter regions. The fourth system is a perturbation of two harmonic oscillators in 1:-2 resonance. Such a system may describe the dynamics in the neighbourhood of an equilibrium of a two degree of freedom Hamiltonian. For this system we give an analytic proof of the existence of fractional monodromy, which is a radical generalization of standard monodromy.
Abstract FR:
Dans ce travail, quatre systèmes hamiltoniens classiques présentant des symétries discrètes ou continues ont été étudiés à l'aide de méthodes et de techniques qui ont été développées au cours des dernières décennies. Trois de ces systèmes sont des familles d'hamiltoniens modélisant des systèmes moléculaires et atomiques. Ces systèmes sont d'une part le mode vibratoire triplement dégénéré des molécules tétraédriques, d'autre part l'atome d'hydrogène dans des champs électriques et magnétiques croisés et enfin la molécule LiCN. L'atome d'hydrogène est naturellement décrit à partir d'une famille à deux paramètres où les paramètres sont les forces des deux champs. Les deux autres systèmes physiques sont décrits comme membres spécifiques de familles paramétriques plus générales. La normalisation (si approprié) et la réduction ont été utilisées afin de réduire le nombre de degrés de liberté de ces familles. Nous nous sommes particulièrement concentrés sur certaines caractéristiques qualitatives de ces systèmes, à savoir, les équilibres relatifs, les bifurcations de Hopf et la monodromie hamiltonienne ainsi que les métamorphoses de ces caractéristiques pour différentes gammes de paramètres. Le quatrième système étudié porte sur la perturbation de deux oscillateurs harmoniques en résonance 1:-2. Un tel système permet de décrire la dynamique d'un hamiltonien à deux degrés de liberté à proximité d'un équilibre. Pour ce système nous apportons notamment une preuve analytique de l'existence d'une monodromie fractionnaire, qui est une généralisation de la monodromie ordinaire.