Abstract FR:

La transformée de Radon d'une image multi-dimensionnelle consiste à intégrer cette image sur des familles d'hypersurfaces (de courbes pour une image 2d). La décomposition de Radon consiste à exprimer une image comme une superposition d'hypersurfaces affectées d'une certaine amplitude (combinaison linéaire d'hypersurfaces). C'est donc un problème inverse linéaire. Nous étudions d'abord les propriétés des différentes décompositions 2d et des courbes d'intégration utilisées en sismique d'exploration pétrolière. L'étude de l'échantillonnage des différentes variables permet de confirmer des règles simples pour la détermination des pas d'échantillonnage et de montrer les conséquences du sur et du sous échantillonnage. L'aliasing spatial notamment conduit à une dispersion de l'énergie dans le domaine transformé. Nous étudions également la décomposition de Radon linéaire 3d. La décomposition est en général un problème sous-déterminé, la plupart du temps résolu en moindres carrés. Cette méthode simple et efficace a néanmoins des limitations importantes, notamment l'impossibilité de traiter correctement les données spatialement aliasées. Les décompositions parcimonieuses, dont le principe est d'utiliser le moins d'hypersurfaces possible, apportent des solutions. Mais elles ont leurs propres inconvénients, notamment une grande sensibilité à l'estimation du niveau de bruit (nous proposons une estimation automatique et locale), et un coût CPU important. Le gradient conjugué, adapté dans le cadre des algorithmes IRLS (iteratively reweighted least squares), est ici la méthode d'optimisation idéale. Puis nous utilisons les décompositions de Radon pour des applications d'interpolation et de reéchantillonnage de traces suivant deux directions spatiales, à partir de distributions régulières ou irrégulières. Les décompositions parcimonieuses permettent d'interpoler des traces au travers de Gaps dont la taille peut atteindre 6 fois le pas d'échantillonnage théorique.