Diagonals of rational functions in physics
Institution:
Sorbonne universitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We study integer coefficient series that are solution of linear differential equations. We focus on diagonals of rational functions related to theoretical physics and enumerative combinatorics. These diagonals correspond to hypergeometric functions or Heun functions. These hypergeometric and Heun functions, are obtained using the method of creative telescoping. We show that these hypergeometric and Heun functions are in fact modular forms, or squares of modular forms, and in some cases derivatives of modular forms. Using algebraic geometry, we were able to understand some of the reasons behind the emergence of these functions, in the context of diagonals of rational functions. The creative telescoping method also allowed us also to understand better the validity of the conjecture advanced by Christol in the 80's. In particular, we were able to show several potential counter-examples to this conjecture corresponded in fact to diagonals of rational functions.
Abstract FR:
Nous étudions les séries à coefficients entiers solutions d’équations différentielles linéaires. Nous nous concentrons sur les diagonales de fractions rationnelles liées à la physique théorique et à la combinatoire énumérative, correspondant à des fonctions hypergéométriques ou à des fonctions de Heun. Ces fonctions hypergéométriques ou de Heun, obtenues par la méthode dite de création télescopique, se sont avérées être dans tous les cas correspondre à des formes modulaires ou des carrés de formes modulaires, voire des dérivées de formes modulaires. Une approche de géométrie algébrique effective nous a permis une compréhension profonde, et intrinsèque, de l'émergence de telles fonctions remarquables. Les méthodes de création télescopique nous ont enfin permis d'avancer dans la compréhension de la validité de la conjecture avancée par Gilles Christol dans les années 1980. En particulier, nous avons pu montrer que certains contre-exemples potentiels à cette conjecture correspondaient bien, en fait, à des diagonales de fractions rationnelles.