Abstract FR:

La these est constituee de quatre parties independantes : la premiere partie etudie un modele oceanique, constitue des equations shallow-water a deux couches et demie. La dynamique double gyre d'un bassin rectangulaire est decrite en fonction des parametres physiques. Les differentes branches d'attracteurs sont etudiees. La deuxieme partie propose une nouvelle methode elements finis permettant de resoudre des edps vectorielles sur la sphere. Le probleme des poles est resolu en utilisant un double systeme de coordonnees locales et en perturbant la base d'elements finis de maniere ad-hoc. La resolution numerique de l'operateur de laplace-beltrami vectoriel confirme les estimations theoriques donnees. Des ecoulements de navier-stokes sur la sphere sont simules numeriquement. La troisieme partie aborde la simulation d'odes rapidement oscillantes. A partir d'un developpement asymptotique, on construit un systeme d'odes renormalise. Ces equations approximent, apres un filtrage lineaire, la dynamique lente des equations de depart. Des estimations sont donnees sur l'erreur entre la solution de depart et la solution renormalisee. La derniere partie propose une technique ameliorant la stabilite lineaire de schemas explicites en temps. L'idee est de decomposer l'inconnue en petites et grandes structures, puis d'utiliser un schema en temps explicite et inconditionnellement stable pour les petites structures. Cette idee a deja ete appliquee avec succes dans le cadre des methodes spectrales. L'objectif est de transposer ces techniques au cas des elements finis.