Abstract FR:

Les méthodes de volumes finis présentent des qualités considérables qui les font souvent employer pour des problèmes industriels dans lesquels de nombreux phénomènes physiques sont couplés, sur des maillages qui ne peuvent pas toujours faire l'objet de méthodes d'éléments finis. Ce travail porte sur l'étude de la convergence des méthodes de volumes finis pour des problèmes de diffusion-convection non linéaires, tels que le problème de Stefan ou l'équation des milieux poreux en présence d'un terme de convection force éventuellement également non linéaire. Une première partie démontre la convergence des méthodes de volumes finis pour un problème de type Stefan sans terme convectif. Les estimations obtenues permettent de conclure à une convergence forte de la température et faible de l'énergie, ce qui est conforme aux résultats obtenus par d'autres approches numériques. Elles permettent d'appliquer le théorème de Kolmogorov, qui donne une propriété de convergence forte au moyen de l'estimation des translations en temps et en espace sur les solutions approchées. L'estimation des translations en espace permet de conclure à la régularité de la limite. Une seconde partie démontre la convergence des méthodes de volumes finis pour un problème mixte de diffusion non linéaire et de convection non linéaire. Lorsque la dégénérescence du terme de diffusion est seulement ponctuelle, la convergence du schéma est alors forte en tout point ; ceci résulte d'un couplage entre les méthodes explicitées en première partie et des méthodes maintenant classiques employées pour la convergence des schémas de volumes finis pour une équation hyperbolique non linéaire. Dans le cas d'une dégénérescence du terme de diffusion sur un intervalle, le résultat de convergence est affaibli, et nécessite l'introduction de solutions dans un sens plus faible, comme il est couramment fait pour les problèmes hyperboliques non linéaires. Cependant, à la différence de ce dernier cadre, il n'y a pas de résultat d'unicité pour conclure à une convergence forte du schéma. Par ailleurs, on retrouve dans ce cas la nécessité d'introduire un sens entropique aux solutions faibles du problème ; le schéma de volumes finis est alors démontré comme satisfaisant une propriété discrète analogue a la propriété continue