Abstract FR:

Ma these generalise la notion de criticalite pour le modele d'ising en dimension 2. J'y definis une nouvelle notion d'holomorphie discrete sur une decomposition cellulaire d'une surface de riemann. Le modele d'ising converge, a imite thermodynamique vers une theorie conforme continue, quand la limite est prise sur un reseau (carre, triangulaire), pres de la temperature critique. J'etends cette criticalite a des decompositions cellulaires generales et je decompose le spineur en parties holomorphes et anti-holomorphes discretes, analogues discrets des blocs conformes. On definit une equation de cauchy-riemann discrete sur le double d'une decomposition cellulaire. Des theoremes classiques sont encore transposables : harmonicite, base des differentielles, pole, theoreme des residus. Il y a des differences, le produit point par point ne preserve pas l'holomorphie, les poles sont d'ordre un, l'espace des formes holomorphes est de dimension double du genre. Une carte est semi-critique si d'une fonction holomorphe discrete f et d'une carte locale plate z on peut faire une 1-forme fdz et critique si fdz est holomorphe. Cette classe contient les reseaux mais bien plus. Une suite convergente de fonctions holomorphes discretes sur une suite convergente de cartes critiques a pour limite une fonction holomorphe sur la surface de riemann. Dans le cas des reseaux triangulaires et carres, on demontre que la criticalite statistique d'ising equivaut a notre criticalite pour une structure conforme reliee aux constantes d'interaction. On definit une equation de dirac sans masse, l'existence d'une solution equivaut a la criticalite. Le spineur de dirac permet alors de decomposer le fermion d'ising en une partie holomorphe et une partie antiholomorphe.