Abstract FR:

Une approche probabiliste des milieux heterogenes, ayant pour buts la description et la simulation de microstructures, ainsi que la prediction de certains effets de changements d'echelle, est developpee. Apres une introduction generale aux modeles aleatoires, une premiere partie est consacree a la construction et a l'etude des proprietes theoriques de modeles de fonctions aleatoires scalaires et multivariables a support dans r#3. Un rappel des proprietes des ensembles aleatoires et des fonctions aleatoires, illustre par le modele mosaique, est suivi de l'etude de plusieurs familles de modeles: schema booleen, fonctions booleennes et varietes booleennes, fonctions aleatoires sequentielles, fonctions aleatoires de dilution, fonctions sequentielles alternees. Ces modeles utilisent le processus de poisson (ou des varietes aleatoires de poisson) pour implanter des fonctions aleatoires primaires combinees entre elles par differentes operations, selon le modele retenu: sup. Ou inf. , premiere ou derniere valeur observee, addition, alternance de sup et de inf. Des modeles d'ensembles aleatoires et de fonctions aleatoires de support compact, pouvant servir de grains primaires pour les modeles precedents sont construits suivant le meme procede. Enfin des modeles de fonctions aleatoires de reaction-diffusion, adaptes aux interactions chimiques entre variables, sont introduits, le cas lineaire conduisant dans certains cas a des fonctions aleatoires de dilution. Selon le procede de construction retenu, chaque modele correspond aux situations physiques suivantes: structures interconnectees, privilegiant la reunion ensembliste (modeles booleens); effets de recouvrement et de perspective (modeles sequentiels); effets diffusifs; aspects spatio-temporels. Il en resulte une grande variete de proprietes structurales, et de textures obtenues par simulation de ces modeles. Leurs caracteristiques probabilistes theoriques (en particulier dans certains cas la loi de changement de support pou r le sup ou l'inf) permettent, pour les applications, d'estimer leurs parametres et de tester leur validite apres estimation sur des donnees experimentales. Dans une deuxieme partie sont proposes des modeles de changement d'echelle adaptes a plusieurs problemes physiques: -des modeles theoriques de statistique de rupture utilisant le critere du maillon le plus faible (et necessitant un changement de support de l'information par l'operateur inf) ou un seuil d'endommagement critique, permettent de calculer la probabilite de rupture de pieces en fonction de leur geometrie, des conditions de chargement et de leur microstructure. La diversite des lois d'echelles obtenues a partir de certains modeles de fonctions aleatoires de la premiere partie, offre de nouvelles possibilites pour le traitement et l'interpretation des donnees d'essais mecaniques sur des materiaux heterogenes, en tenant compte de leur microstructure; -des criteres de connexite, illustres par des exemples d'application, sont utilises dans des contextes differents: la variation du nombre de connexite dans r#3 d'alliages biphases fe-ag (estime a l'aide du schema booleen) en fonction de leur composition, est reliee a des changements macroscopiques de comportement rheologique. D'autre part, au moyen de deux types de simulations sur des graphes, realisees par analyseur d'images ou par ordinateur, on peut estimer des proprietes physiques macroscopiques de milieux heterogenes qui dependent etroitement de caracteristiques de connexite: par propagations geodesiques sur des graphes values, sont determines des chemins minimaux (avec des applications a la rupture), ou est caracterise l'envahissement d'un mileu par un front (illustre par la diffusion en milieu heterogene); avec des modeles de gaz sur reseau, on simule a l'echelle microscopique des ecoulements complexes en milieux poreux aleatoires pour estimer leurs caracteristiques macroscopiques de transport (tenseur de permeabilite et de diffusion)