Abstract FR:

Dans ce travail nous étudions les intervalles d'instabilité pour une équation de Hill en dimension 1, dont le potentiel est réel-analytique et s'étend en une fonction méromorphe a pôles simples dans une bande du plan complexe. Nous obtenons le développement asymptotique de la largeur du n-ieme intervalle d'instabilité pour n grand à une erreur exponentiellement petite près. Notre résultat montre en particulier qu'il y a une infinité d'intervalles d'instabilité ouverts pour ce type de potentiel. Nous utilisons la méthode wkb complexe exacte pour construire des solutions de l'équation dont nous connaissons le développement asymptotique en dehors des pôles, puis des techniques d'analyse microlocale semiclassique pour étudier les solutions de l'équation dans un voisinage des pôles. C’est le recollement de ces deux types de solutions qui donne notre résultat