Abstract FR:

Ce travail est consacre a une etude, en dimension un, de l'oscillateur relativiste l, deformation relativiste de l'oscillateur harmonique; l'equation aux valeurs propres est la meme que celle qui conduit aux fonctions de mathieu modifiees, mais on s'interesse ici aux fonctions propres qui tendent vers 0 a l'infini. Les methodes reposent sur le calcul symbolique de klein-gordon, lie a l'oscillateur relativiste comme le calcul de weyl l'est a l'oscillateur harmonique. Une moitie de cette these concerne les fonctions propres de l: les resultats comprennent le nombre de zeros, les developpements bkw a l'infini, une equation integrale de la k-eme fonction propre (generalisant celle donnee par a. Unterberger). L'emploi du calcul de klein-gordon permet d'expliciter, en un sens, les coefficients de fourier-floquet des fonctions de mathieu usuelles. L'estimation de la k-eme valeur propre de l requiert, comme l'ont montre colin de verdiere et helffer-robert, la construction d'une fonction de l dont le symbole a un flot hamiltonien de periodes constantes. L'etude de cet operateur necessite, pour commencer, un calcul fonctionnel des puissances de l et inl, dont on deduit aussi les poles de la fonction zeta de l. Pour reconnaitre en l'exponentielle de cet operateur un operateur pseudo differentiel on etablit une caracterisation a la beals d'une classe d'operateurs pseudo differentiels du calcul de klein-gordon. Sous l'hypothese (que nous comptons justifier dans un travail ulterieur) que deux valeurs propres consecutives de l ne sont pas trop proches on donne un developpement limite, sous forme implicite, de la k-eme valeur propre de l