Théorie semiclassique des vibrations des plaques
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Vibrations of plates are studied here from the point of view of "quantum chaos", studying the quantum behavior of classically chaotic systems. The Kirchhoff-Love model of flexural vibrations is treated from a semiclassical point of view. The smooth terms of the level density are obtained by the Balian and Bloch method, the second term being also derived from the Krein formula and the third term containing the contributions of the boundary curvature and of some corners. The trace formula, a contribution of the classical periodic orbits to the level density, is derived. Similar to the formula obtained for the quantum billiard or the membrane, it contains an additional phase term, corresponding to the one acquired on the orbit by the wave when reflecting on the boundary. In some cases, the existence of a discrete spectrum of boundary waves adds a contribution to this formula. These results are checked using exact spectra from an integrable case and a chaotic one. In this last case, an original numerical method has been developed allowing to compute 600 levels. As for the membrane, the spectral statistics is well described by a Poissonian statistics in the integrable case, and by the one of the Gaussian orthogonal ensemble in the chaotic case, confirming the Bohigas-Giannoni-Schmit conjecture. In the case of real plates without geometric symmetry, the spectral statistics obtained experimentally seems to indicate a superposition of two independent spectra. In fact, the symmetry with respect to the middle plane implies the existence of extensional and flexural modes. The derivation of the mean level density of the corresponding bidimensional Poisson and Kirchhoff-Love models, including three-dimensional effects, allows to explain the experimental results.
Abstract FR:
Les vibrations des plaques sont abordées ici dans le cadre du "chaos quantique", domaine qui s'intéresse au comportement quantique des systèmes classiquement chaotiques. Le modèle des vibrations de flexion de Kirchhoff-Love est étudié d'un point de vue semiclassique. Les termes lisses de la densité de niveaux sont obtenus par la méthode de Balian et Bloch, le second terme étant aussi dérivé à partir de la formule de Krein et le troisième terme contenant les contributions de la courbure et de certains coins de la frontière. La formule de trace, contribution des orbites périodiques classiques à la densite de niveaux, est dérivée. Analogue à celle obtenue pour le billard quantique ou la membrane, celle-ci contient un terme de phase supplémentaire, correspondant au déphasage acquis sur l'orbite par l'onde lors de la réflexion sur la frontière. Dans certains cas, l'existence d'un spectre discret d'ondes de frontière ajoute une contribution à cette formule. Ces résultats sont verifiés à l'aide de spectres exacts dans le cas d'un système intégrable et d'un systéme chaotique. Pour ce dernier cas, une méthode numérique originale a été permettant d'obtenir 600 niveaux. Comme pour la membrane, la statistique spectrale est bien décrite par une statistique Poissonienne dans le cas intégrable et par celle de l'ensemble Gaussien orthogonal dans le cas chaotique, confirmant la conjecture Bohigas-Giannoni-Schmit. Dans le cas de plaques réelles sans symétrie géométrique, la statistique spectrale obtenue expérimentalement semble indiquer une superposition de deux spectres indépendants. En fait, la symétrie par rapport au plan médian implique l'existence de modes extensionnels et de flexion. La dérivation de la densité de niveaux moyenne des modèles bidimensionnels correspondants de Poisson et de Kirchhoff-Love, en incluant des effets tridimensionnels, permet d'expliquer les résultats expérimentaux.