Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude des groupes quantiques. Ces nouvelles structures apparaissent naturellement dans les modeles integrables et dans les theories des champs conformes. Dans partie i, nous introduisons le formalisme de la partie fractionnaire qui permet d'unifier la description des representations irreductibles de dimension finie pour q generique, et pour q racine de l'unite. Nous demontrons que l'application de ce formalisme a la representation de gelfand-zetlin de u#q(sl(n)) permet de decrire la totalite des representations existantes. Dans la partie ii, nous classifions les representations irreductibles de dimension finie du groupe quantique u#q(sl(2|1)). Nous discutons la notion d'ensemble complet de representations pour etablir les relations dans le centre de u#q(sl(2|1)). Nous demontrons dans la partie iii que les invariants fondamentaux de h#n(q) et u#q(sl(n)) caracterisent les representations irreductibles de dimension finie (propriete de memoire), et nous developpons un nouvel algorithme pour extraire les caracteres des representations irreductibles de dimension finie de h#n(q) base sur cette propriete de l'invariant fondamental et sur la notion d'operateur de murphy. Nous discutons dans la partie iv la construction des representations irreductibles de dimension finie du groupe quantique u#q(so(5)), et nous introduisons la notion de deformation non-minimale. Nous utilisons la propriete de memoire du casimir quadratique de u#q(so(5)) et la notion de contraction des representations pour demontrer la dependance du spin et la masse dans le groupe euclidien u#q(e(4)) et le groupe de poincare quantique u#q(p#4). Finalement dans la partie v, nous etudions la realisation de l'algebre de lie sl(2) non-lineaire en fonction des generateurs de sl(2) habituels et les possibilites d'y definir une structure de hopf. Nous classifions les representations irreductibles de l'algebre sl(2) non-lineaire en deux types, la deuxieme est specifique a la deformation non-lineaire