Abstract FR:

Dans ce travail, on etudie l'existence et le changement de phases des deformations antiplanes d'un tube t forme d'un corps hyperelastique, homogene et isotrope. Grace a la theorie de l'elasticite tridimensionnelle, la recherche d'une configuration d'equilibre stable se ramene a la recherche d'une fonction u qui realise le minimum de la fonctionnelle d'energie du systeme. La particularite dans l'etude de ce probleme est que la fonctionnelle d'energie n'est pas convexe en du (du: gradient de la deformation) et par consequent les resultats classiques d'optimisation ne sont pas applicables. Il est alors usuel d'adjoindre a ce probleme de minimisation non convexe (p), un probleme relaxe note (pr) qui est convexe et d'etablir une condition necessaire et suffisante pour qu'une solution de (pr) soit solution de (p). Pour le type de fonctionnelle que nous etudions, l'obtention de cette condition necessaire et suffisante passe par une etude qualitative des solutions de (pr). (convexite des ensembles de niveaux, estimations globales fines de la norme du gradient et caracterisation des points de discontinuite du gradient des solutions de (pr). ) enfin, nous proposons un algorithme pour le calcul des solutions de (pr) (et donc de (p) en cas d'existence) dont nous prouvons la convergence en variables continues et nous terminons par quelques resultats numeriques obtenus