Abstract FR:

L'objet de ce travail est l'étude spectrale de l'effet Aharonov-Bohm pour des opérateurs, dits du type de Bochner-Laplace, associé à un potentiel électrique et à une connexion linéaire sur un fibre hermitien au-dessus d'une variété riemannienne compacte et connexe. Dans le premier chapitre, on définit, a partir d'un chemin ferme et d'une connexion plate, une classe d'équivalence de matrices unitaires constantes appelée matrice d'holonomie. On obtient alors, une caractérisation des connexions triviales à l'aide de conditions sur cette classe. On s'intéresse ensuite au problème de comparaison des valeurs propres et on commence par regarder le cas d'un fibre trivial. Dans ce cas, l'operateur considéré est un operateur de Schrodinger avec un potentiel électrique et un potentiel magnétique (de type Yang-Mills) à valeurs matricielles. On donne alors des conditions nécessaires et suffisantes sur le potentiel magnétique, pour que l'operateur associé admette les mêmes premières valeurs propres que celui définit par le potentiel magnétique nul. Les résultats obtenus dans ce chapitre complètent et généralisent ceux de B. Helffer, I. Shigekawa pour le cas scalaire et S. Manabe-I. Shigekawa pour les systèmes. Le cas d'un fibre non nécessairement trivial est étudié dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, on fait une analyse semi-classique de l'effet Aharonov-Bohm dans le complémentaire d'un disque de plan.