Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude de certains themes lies au comportement quantique de systemes classiquement chaotiques pour des modeles particuliers, des billards de courbure negative constante. Les calculs numeriques de spectres quantiques de tels systemes presentent une deviation tres forte par rapport aux predictions des theories de matrices aleatoires, alors meme que la dynamique classique est extremement chaotique. Nous montrons ici, que cette anomalie est presente pour seulement certains de ces modeles, ceux engendres par l'action d'un groupe arithmetique. Nous prouvons que les proprietes arithmetiques de ces systemes conduisent a une degenerescence exponentielle des longueurs des orbites periodiques classiques. Ceci, a travers des formules semi-classiques, permet d'expliquer pourquoi les statistiques spectrales sont anormales. Une autre propriete de ces modeles, est l'existence d'un nombre infini de pseudo-symetries purement arithmetiques commutant avec le hamiltonien. Elles permettent de construire une formule de trace exacte reliant les fonctions d'onde aux orbites periodiques. Cette formule est derivee en detail dans un cas specifique et sa pertinence est verifiee numeriquement. L'introduction d'un champ magnetique et ses consequences sur les formules de trace sont aussi discutees