Abstract FR:

Le but de cette these est d'etudier le comportement en dimension finie de certaines equations d'ondes non lineaires, non locales, dispersives et dissipatives, associees a des conditions aux limites periodiques, et en presence d'une force exterieure. La premiere partie est consacree a l'etude de l'existence et l'unicite des solutions regulieres, pour ces equations. On a utilise pour cela une methode de regularisation parabolique, pour les equations de benjamin-ono, ondes intermediaires, ainsi que celles de smith, et une autre regularisation pour le probleme de korteweq-de vries. Dans la deuxieme partie on a etabli des bornes uniformes sur les solutions de ces equations dans des espaces assez reguliers. Dans la troisieme partie on a monte pour les differents cas que les solutions de ces equations sont entierement determinees par leurs valeurs sur un ensemble discret, pourvu que cet ensemble contienne assez de points et que ces points soient suffisamment denses et uniformement distribues. Ainsi, on a montre que deux solutions stationnaires sont identiques, si elles coincident sur un ensemble dense mais fini. D'une maniere similaire on a montre que si le comportement de ces solutions pour les grands temps est determine sur un ensemble discret approprie, alors le comportement des solutions pour les grands temps est entierement determine. Dans la quatrieme partie, on a montre qu'une faible dissipation d'ordre zero suffit a imposer un comportement de dimension finie pour ces equations. Ainsi, un attracteur global de dimension fractale finie capturant toutes les trajectoires est construit. Dans la derniere partie, on a utilise la methode de galerkin pour calculer les solutions numeriques du probleme de korteweg de vries. Cette methode est basee sur la discretisation standard en espace et utilise des splines periodiques et regulieres