Abstract FR:

Les interactions entre la geometrie differentielle et la theorie des groupes ont ete tres fructueuses. Dans le but de developper des outils de geometrie differentielle pour la theorie des espaces non commutatifs, s. L. Woronowicz introduit la notion de calcul differentiel sur les groupes quantiques. Dans une premiere partie, nous definissons une notion d'algebre de lie quantique qui est compatible avec les travaux de s. L. Woronowicz et construisons une theorie cohomologique adaptee. Cette cohomologie generalise la cohomologie des algebre de lie classiques et se comporte vis-a-vis des calculs differentiels sur les groupes quantiques comme la cohomologie des algebres de lie classiques vis-a-vis de la differentielle de de rham. Le theoreme de van est, qui, dans la theorie des groupes de lie, permet sous certaines hypotheses sur la cohomologie de de rham de comparer la cohomologie de l'algebre de lie a celle de son groupe, admet un analogue quantique. Dans une seconde partie, nous nous sommes interesses au probleme de la classification des calculs differentiels. Nous avons obtenu une classification des calculs differentiels sur le dual de u#q en terme de modules sur une certaine sous-algebre de u#q. Partant d'une algebre de hopf coquasi-triangulaire factorisable (a, ) et d'un a-comodule a droite simple m, de dimension finie, nous construisons explicitement un calcul differentiel d : a a end(m). Lorsque le reseau des poids et le reseau des racines sont identiques, tous les calculs differentiels sur le dual de u#q sont obtenus par la methode precedente. Dans une derniere partie, nous relions l'homologie de hochschild d'une algebre de battages quantique a certains groupes de cohomologie du groupe des tresses.