Abstract FR:

Grace a leurs proprietes specifiques (homogeneite de l'epaisseur, de la densite bidimensionnelle et de la tension) les films de cristaux liquides smectiques forment des membranes bidimensionnelles ideales obeissant a l'equation d'onde de helmholtz, avec les conditions de dirichlet au bord. Dans cette these, une nouvelle experience a ete mise au point, qui permet, pour un film tendu sur un contour donne, de mesurer non seulement son spectre de frequences propres, mais aussi la forme geometrique des modes. Le role de la forme de la membrane a ainsi pu etre analyse. On a commence par etudier une forme prefractale, constituee par une courbe de koch quadratique, dont la construction a ete arretee a un ordre d'iteration fini. L'accord entre les resultats experimentaux obtenus et des resultats numeriques obtenus par ailleurs, tant sur le spectre que sur les allures des modes, est excellent. Deux mecanismes de localisation des fonctions d'onde, d'origines physiques differentes, ont ete mis en evidence. L'autre question etudiee est un probleme mathematique, que l'on peut resumer par peut-on entendre la forme d'un tambour?. La reponse prevue par les mathematiciens est non, c'est-a-dire qu'il existe des formes geometriques differentes, conduisant a des spectres de frequences propres identiques ; ces formes sont appelees isospectrales. On a ainsi verifie experimentalement l'isospectralite de deux contours avec une bonne precision. On a egalement montre en detail que seules les symetries de construction de ces deux contours, basees sur la theorie des groupes, importaient.