Abstract FR:

Ce travail concerne diverses generalisations du systeme de ginzburg-landau dans l'espace tout entier. Il s'agit de systemes elliptiques non-lineaires du second ordre qui apparaissent dans de nombreux problemes en physique (supraconductivite, suprafluidite, cristaux liquides). Nous nous interessons a diverses questions concernant les solutions de ces systemes : identites de pohozaev, effets de quantification de l'energie, resultats de type liouville, comportement asymptotique au voisinage de l'infinie et proprietes de symetrie. Nous demontrons des identites de pohozaev qui, combinees avec l'inegalite de kato, conduisent a la demonstration du phenomene de la quantification de l'energie (en dimension 2) et, plus generalement, aux theoremes de liouville (toute solution d'energie finie est constante). De plus, la methode d'eclatement combinee avec des inegalitees d'interpolation (demontrees dans ce travail) permettent de decrire exactement le comportement asymptotique des solutions au voisinage de l'infini. A la suite d'une question de h. Brezis, nous avons etudie et classifie les solutions radiales du systeme de ginzburg-landau. En outre, en dimension 3, la description complete des solutions radiales est donnee. Nous nous sommes aussi interesses a une conjecture de e. De giorgi concernant l'equation de ginzburg-landau scalaire. Pour cette derniere equation, nous demontrons que s'il existe un cylindre ouvert infini sur lequel la solution minimise l'energie associee au probleme, alors la solution est une fonction d'une seule forme lineaire des coordonnees, ce qui fournit la demonstration de la conjecture de de giorgi sous une hypothese supplementaire.