Abstract FR:

Les resultats presentes dans cette these ont pour point de depart la theorie de la relativite d'echelle, pour finalement concerner les transformations projectives complexes, ainsi que la geometrie non-commutative par certains aspects. En premier lieu, j'analyse la prescription formelle selon laquelle il serait possible de deduire des equations de la mecanique classique, des equations qui soient covariantes d'echelle, et par suite, les equations de mecanique quantique. Cette prescription consiste a remplacer dans les equations classiques, les derivees totales par une derivee covariante d'echelle. Une telle substitution est censee realiser le postulat de la theorie, selon lequel les equations de la physique doivent garder - une fois ecrites en relativite d'echelle - la meme forme, quelle que soit l'echelle a laquelle on les considere. Je montre que cette prescription donne lieu, en l'appliquant a la lettre dans les quantites et equations classiques, a des relations en fait incompatibles qui, de plus, ne redonnent pas dans un certain nombre de cas les equations quantiques qui leur correspondent. Les equations qui sont justes contiennent des termes additionnels, de sorte que, pour certaines d'entre elles, leur forme change. L'exemple le plus important d'ecart a la forme classique que je mets en evidence, concerne l'energie, et plus generalement les invariants quadratiques. Leurs contreparties renferment un terme de divergence, en plus du terme quadratique dans les vitesses. De l'expression de l'invariant relativiste, je deduis une forme possible de l'equation de dirac dans cette approche, moyennant une ecriture matricielle ou la vitesse intervient comme une connexion dans des equations de structure. De plus, en ecrivant l'invariant ci-dessus dans le cas riemannien, j'obtiens des equations du mouvement qui contiennent, en plus des termes usuels, un terme de correction geodesique. Comme autre exemple d'ecart a la forme classique, je trouve que les equations du mouvement avec champ electromagnetique renferment un terme de courant en plus du terme de force de lorentz. Ces changements dans la forme des equations, ont pour cause le fait que la regle de leibniz n'est pas satisfaite par la derivee covariante d'echelle. Celle-ci n'est donc pas une derivation. L'ecart a la regle de leibniz n'est pas insignifiant, mais peut explicitement etre relie aux relations de commutation canoniques. Pour que cette regle puisse se formuler sous sa forme usuelle, j'introduis un produit symetrique inspire du calcul stochastique. En plus de restaurer la forme de la regle de leibniz, il permet de redonner a la plupart des equations evoquees ci-dessus leur forme usuelle. Les termes additionnels se trouvent absorbes dans le produit symetrique lui-meme, permettant ainsi d'invoquer la notion de covariance d'echelle de maniere plus profonde. En allant plus loin, ces expressions fournissent un lien entre la presente approche et la geometrie non-commutative. En effet, l'introduction d'un calcul differentiel deforme, ou les fonctions et leurs differentielles ne commutent plus, donne lieu a des formules tres proches de celles rencontrees en calcul stochastique, et par consequent de nos equations. Le produit symetrique est alors relie au commutateur des fonctions et des differentielles. Enfin, j'examine les proprietes d'invariance satisfaites par l'energie non quadratique. A un premier niveau, je montre qu'elle est invariante sous une homographie particuliere sur les vitesses. Puis, je considere les mouvements dans le plan hyperbolique, en particulier dans le modele du demi-plan de poincare. Aux points fixes de l'homographie, l'energie retrouve sa forme quadratique usuelle. L'interpretation envisagee ici, consiste a assimiler le cas limite que represente la mecanique classique pour la mecanique quantique, a la limite geometrique que represente l'horizon du plan hyperbolique. A un niveau plus fondamental, la forme de l'energie fait intervenir l'invariance conforme et projective. Moyennant la parametrisation adequate, elle est en effet identique a une derivee de schwarz, et acquiert ainsi le statut d'invariant projectif. La vitesse apparait alors comme un invariant affine. Ces equations conduisent a interpreter ces quantites comme des connexions affine et projective.