Abstract FR:

Cette these porte sur la mise au point d'une nouvelle technique, en grande partie analytique, pour calculer la valeur moyenne de l'energie totale associee a une fonction d'onde fermionique, de spin maximal, construite dans le premier niveau de landau et ceci dans la geometrie du disque. Cette situation est digne d'interet car elle constitue le cadre de l'effet hall quantique fractionnaire. Cet effet quantique macroscopique se produit dans les systemes fortement correles d'electrons bidimensionnels, a tres basse temperature et en presence d'un champ magnetique perpendiculaire eleve. Par exploitation de l'analyticite, du caractere fermionique et de l'invariance par rotation du systeme, nous avons montre comment il etait possible de calculer la valeur moyenne totale de l'energie. Une expression compacte et exacte de l'energie moyenne d'interaction des electrons avec le fond continu a ainsi ete obtenue. Concernant l'evaluation de l'energie potentielle coulombienne, le resultat s'ecrit sous la forme d'une somme de termes. Chaque terme est defini par un coefficient intervenant dans le developpement d'une fonction a deux points particuliere et d'une serie de fonctions hypergeometriques. La convergence tres rapide de ces series permet de limiter la sommation aux premier membres. Afin de valider notre approche, nous avons applique cette technique au cas des celebres fonctions de r. Laughlin. A cette fin, il a ete utile de construire des relations de recurrence pour engendrer les puissances et coefficients intervenant dans les developpements multinomiaux de ces fonctions. L'etude des petits systemes electroniques a conduit a definir les parametres de ces etats associes afin de reduire au maximum les effets de tailles finies et de faciliter la comparaison avec les resultats existant a la limite thermodynamique dans la litterature.