Abstract FR:

Dans la première partie nous avons appliqué des itérations KAM quantiques à des matrices réelles symétriques de dimension finie. Nous avons montré numériquement que la méthode KAM converge pour presque toutes les valeurs du paramètre de perturbation à l'exception d'un ensemble de Julia de mesure nulle. Cet ensemble de Julia est dû à la compétition entre différents points fixes. La localisation de cet ensemble de Julia est reliée aux presque-croisements dans le spectre du Hamiltonien mais dépend de la transformation unitaire choisie. Dans la seconde partie nous avons développé une iteration KAM classique en représentation de Lie. La rapidité de l'algorithme numérique de la transformation de Lie permet de prendre un grand nombre de coefficients de Fourier pour représenter le Hamiltonien. Nous avons applique cette itération KAM à un Hamiltonien à deux degrés de liberté quadratique dans les variables action et nous nous sommes intéressés au tore invariant ayant pour fréquence le nombre d'or. Nous avons montré numériquement que pour ce modèle l'itération KAM converge jusqu'à la perturbation critique pour laquelle le tore invariant étudié se brise. Nous avons ensuite développé une transformation de renormalisation. La renormalisation permet d'obtenir une valeur précise de la perturbation critique avec un petit nombre de coefficients de Fourier. Nous avons trouvé un point fixe quadratique réel non trivial avec une structure auto-similaire situe sur une surface critique et nous avons déterminé un exposant critique caractérisant ce point fixe.