Abstract FR:

Cette these porte sur les notions de traces et determinants en dimension infinie qui generalisent le cas de la dimension finie. On considere les operateurs pseudo-differentiels (opd) classiques agissant sur les sections d'un fibre hermitien de rang fini base sur une variete riemannienne compacte sans bord de dimension finie. Se donnant un opd q elliptique admissible on revoit tout d'abord en details des proprietes de la trace ponderee tr q qui est definie pour un opd classique a comme la partie finie en s = 0 de la fonction -generalisee tr(aq s). Ensuite, en etendant les traces ponderees aux logarithmes d'opd classiques elliptiques admissibles on introduit et etudie les determinants ponderes det q (a) : = exp(tr q(loga)). De tels objets apparaissent en theorie quantique des champs ou le determinant communement utilise est le determinant. En general les traces ponderees ne sont pas de vraies traces : tr q(ab) = tr q(ba). Le principal resultat que l'on obtient est : si tr q est une vraie trace sur une sous-algebre a de l'algebre des opd classiques satisfaisant quelques conditions techniques alors la propriete de multiplicativite det q(ab) = det q(a)det q(b) est verifiee pour tous operateurs a et b pris dans a et satisfaisant aussi quelques conditions techniques. Ce resultat applique a la sous-algebre des opd classiques de classe impaire donne une explication naturelle a la propriete de multiplicativite du determinant etablie par m. Kontsevich et s. Vishik. Finalement, on etend la notion de p. De la harpe and g. Skandalis de determinant associe a une trace sur une algebre de banach a des espaces de frechet d'opd classiques.