Abstract FR:

Notre travail se situe dans le cadre de la mécanique hamiltonienne et concerne principalement des oscillateurs hautement non-linéaires autonomes a deux degrés de liberté. Après quelques généralités concernant les notions de base nous avons entrepris une étude des sections de Poincaré de divers systèmes ce qui nous a permis de confirmer ou d'infirmer l'intégrabilité. Pour certains d'entre eux qui ne sont pas intégrables nous avons utilise la méthode des formes normales pour obtenir les solutions et les périodes des modes normaux non-linéaires. Lorsque ces systèmes étaient intégrables nous avons utilise la méthode de Lie, pour trouver les formes canoniques de l'hamiltonien h et du deuxième invariant f, qui nous ont permis d'exprimer les périodes du mouvement quasi-périodiques de la solution générale en fonction des deux valeurs qui prennent les deux invariants, et pour certaines valeurs particulières de ces invariants nous avons pu trouver les périodes des modes normaux non-linéaires, sous forme des fonctions hypergéométriques de Gauss généralisées. Enfin les calculs en coordonnées actions-angles nous ont alors permis de découvrir des structures quasi-bihamiltoniennes