Abstract FR:

Nous étudions quelques problèmes mathématiques poses par la modélisation d'écoulements de fluides visqueux incompressibles autour d'un obstacle borne, dans l'approximation stationnaire et pour un fluide au repos à l'infini. On dispose alors de modèles classiques avec les systèmes d'équations aux dérivées partielles de stokes (linéaire) et de Navier-stokes (non-linéaire), ici poses dans des domaines extérieurs. La première partie est consacrée au problème de stokes. On y discute l'existence et l'unicité des solutions avec une croissance ou une décroissance donnée à l'infini grâce à l'utilisation d'espaces de Skobelev avec poids. Nous obtenons dans certains cas des developpements asymptotiques des solutions. Nous etudions aussi, dans le meme cadre fonctionnel, quelques proprietes des champs de vecteurs a divergence nulle. Les resultats sont etablis tout d'abord dans l'espace entier, puis dans un domaine exterieur. La seconde partie est dediee aux equations stationnaires de navier-stokes dans des domaines exterieurs. Nous y prouvons, en dimension trois, des resultats de regularite des solutions faibles de ce probleme qui permettent de verifier la condition de repos a l'infini. En dimension deux, on detaille les proprietes asymptotiques d'une famille de solutions verifiant certaines conditions de symetrie. Grace a une approche differente basee sur le theoreme de point fixe de banach, nous obtenons, en dimension trois et pour des donnees suffisamment petites, l'existence et l'unicite d'une solution qui decroit rapidement et etablissons un developpement asymptotique de celle-ci.