Abstract FR:

Nos travaux concernent l'etude d'instabilites d'un plasma decrit par les equations de la magneto-hydrodynamique (m. H. D. ). Nous considerons ce probleme comme une recherche des bifurcations de solutions (non lineaires) qui peuvent apparaitre, a partir d'un etat d'equilibre, lorsque l'on fait varier les valeurs de parametres physiques. Une telle etude systematique devrait permettre d'expliquer, par bifurcations successives, des phenomenes de transition vers la turbulence. Dans le chapitre i, on decrit tout d'abord les equations de la m. H. D. Apres une normalisation de ces equations on donne les conditions aux limites. On donne apres des resultats d'existence et de regularite pour les equations de la pression et du champ magnetique. On donne enfin, pour chaque equation, des resultats d'approximation dans un espace v#h d'elements finis. Au chapitre ii on demontre pour un probleme mis sous la forme, f(, u) = u + t#u (g(, u)) = 0 (2. 1) avec u = (v, , b, p) et t#u un operateur non lineaire en u ; l'existence d'une branche de solutions du probleme approche: f#h(, v#h) = u#h + th#u#h (g(, u#h)) = o (2. 1) au voisinage d'une solution non singuliere de (2. 1). On utilise pour cela un theoreme de fonction implicite demontre dans un article de brezzi f. , rappaaz j. Et raviart p. A. Dans notre cas, la non linearite de t#u en u entraine des hypotheses supplementaires sur g et t#u. On verifie alors par la suite que notre probleme de la m. H. D. Se met sous la forme (2. 1) et que les hypotheses du precedent theoreme sont verifiees. On etudie au chapitre iii un modele reduit (donne en terme de fonction flux) dont on connait les solutions permettant de valider les principaux sous-programmes du code element fini 3d construit pour modeliser ces equations. Au chapitre iv, on developpe le code numerique. Le code est construit en dimension troisq par des elements finis q#1. Une premiere version du code permet de resoudre un systeme d'equations reduites pour un probleme a symetrie helicoidale, ayant pour inconnues des fonctions scalaires. L'originalite consiste donc a calculer des branches de solutions non lineaires, pour un etat d'equilibre helicoidal donne et a chercher des solutions egalement a symetrie helicoidale. En fonction d'un parametre (difference entre le pas des deux helices precedentes) maschke-morros ont montre physiquement l'existence d'un point de bifurcation de solutions stationnaires (pour une valeur = #c et que la solution depend paraboliquement de la quantite #c-/#c. On calcule une branche de solutions afin de retrouver cette dependance. On decrit dans un premier temps la methode de discretisation, l'algorithme de resolution et ensuite on donne les resultats