Abstract FR:

Cette these s'organise autour de deux themes. Le premier concerne l'etude des distributions de probabilite de fonctionnelles du mouvement brownien qui interviennent dans divers contextes physiques. Le second se rapporte a la diffusion brownienne unidimensionnelle en milieu aleatoire, et au probleme associe de localisation en mecanique quantique. Le chapitre 1 presente une methode d'integrale de chemin qui relie les distributions de probabilite de certaines fonctionnelles du mouvement brownien, a des fonctions de green euclidiennes de la mecanique quantique. Cette approche permet notamment d'etudier certaines proprietes d'enroulement du mouvement brownien plan, qu'il soit libre ou soumis a l'action d'un potentiel exterieur. Le chapitre 2 a pour l'objet l'etude de la loi de probabilite d'une fonctionnelle exponentielle du mouvement brownien, qui intervient notamment dans le calcul de la distribution du flux de particules qui traverse un echantillon desordonne de taille finie, lorsque les particules diffusent classiquement, sous l'action d'une force aleatoire gelee distribuee comme un bruit blanc gaussien. Elle s'inscrit plus largement dans le cadre des processus stochastiques multiplicatifs. Le chapitre 3 etudie les proprietes de localisation d'un hamiltonien unidimensionnel desordonne de mecanique quantique supersymetrique, qui intervient en particulier dans l'etude de la diffusion classique en presence d'une force aleatoire gelee. La densite d'etats et la longueur de localisation sont calculees exactement lorsque la force aleatoire gelee est un processus de poisson a deux niveaux. Une analyse qualitative permet de comprendre l'origine physique des divers comportements de la densite d'etats a basse energie