Abstract FR:

Cette étude porte sur la dynamique d'un système à une dimension présentant une non-linéarité polynomiale avec une composante quadratique et une autre cubique, soumis à une excitation paramétrique sinusoïdale. Après une étude des bifurcations de l'unique position d'équilibre de ce système menée aussi bien à l'aide de méthodes analytiques que numériques, nous montrons qu'il existe trois familles de solutions périodiques de même période que l'excitation paramétrique, et nous présentons divers résultats concernant leurs bifurcations et en particulier l'apparition de chaos temporel. L’analyse globale de la dynamique de ce système consiste à déterminer l'ensemble des comportements asymptotiques possibles pour un même choix des paramètres de contrôle. La détermination des bassins d'attractions de ces solutions et l'analyse de leurs frontières permet alors de montrer que l'espace des phases possède le plus souvent une structure fractale qui conduit en général à une impossibilité de prédire le comportement a long terme du système même en l'absence de solution chaotique. L’étude des transitions du système vers le chaos temporel révèle que la cascade sous-harmonique est la voie la plus fréquemment empruntée par le système et qu'elle suit la même loi d'échelle qui caractérise les itérations d'applications unimodales de l'intervalle. A côté des intermittences classiques par déstabilisation d'un cycle limite, nous avons de plus mis en évidence la transition intermittente vers le chaos à partir d'un point fixe, qui se déstabilise au cours d'une bifurcation de hopf subcritique. Enfin, l'analyse détaillée des fenêtres de périodicité qui apparaissent à l'intérieur de zones ou la dynamique est chaotique montre l'existence de deux types nouveaux de fenêtres dont l'apparition ne suit pas le scenario standard. Enfin le dernier chapitre aborde la description qualitative de la structure des attracteurs chaotiques a l'aide d'invariants topologiques et d'une dynamique symbolique. Cette méthode d'exploration de la dynamique est complémentaire de l'approche métrique habituellement utilisée et consiste en l'étude de l'organisation de l'ensemble des orbites périodiques non stables qui sont contenues dans tout attracteur chaotique.