Abstract FR:

On considere la propagation d'ondes periodiques de capillarite-gravite a l'interface entre deux fluides de densites differentes. En effectuant une analyse faiblement non-lineaire basee sur la structure hamiltonienne temporelle du probleme, on obtient la forme normale, c'est-a-dire le systeme d'equations reliant la frequence aux amplitudes des differents modes. Une etude de la forme normale revele trois types possibles d'ondes: les ondes progressives et les ondes stationnaires mais aussi des ondes singulieres a deux modes. Ces ondes mixtes, qui necessitent la presence de la capillarite pour les vagues a la surface de l'eau, existent meme lorsque la capillarite est negligee dans le cas des ondes interfaciales. L'analyse faiblement non-lineaire est ensuite etendue au cas particulier de la resonance 1:2 entre le mode fondamental et le deuxieme harmonique. Parmi les solutions, on trouve des ondes mixtes a trois modes, qui permettent de passer continument d'une onde progressive a une onde stationnaire. La resonance 1:1 qui correspond au minimum de la courbe de dispersion est ensuite etudiee, d'un point de vue purement spatial. Une nouvelle formulation hamiltonienne spatiale du probleme est donnee. Des bifurcations spatiales dans le voisinage de la resonance 1:1 sont etudiees analytiquement et numeriquement. Une singularite de codimension deux est a l'origine de l'existence de branches d'ondes isolees. Il s'avere utile d'etudier les branches de solutions dans l'espace de deux invariants associes a l'energie et a la quantite de mouvement. Enfin, la methode des echelles multiples est utilisee pour etudier les modulations des ondes periodiques etudiees dans la premiere partie. Des equations couplees de type nls (equation non lineaire de schrodinger) sont obtenues. Une etude de la stabilite par rapport a des modulations tri-dimensionnelles est effectuee