Abstract FR:

Nous nous interessons au comportement asymptotique de fonctions spectrales de perturbation (fsp) pour des operateurs differentiels du type dirac. Dans un premier temps, nous etudions les prolongements meromorphes de fonctions zeta et eta relatives pour une famille generale de couples d'operateurs differentiels. Pour cela, nous utilisons le calcul fonctionnel d'operateurs pseudo-differentiels developpe par b. Helffer et d. Robert. Ceci constitue une etude au sens faible de fsp car les fonctions zeta et eta relatives sont liees a des transformations de mellin de fsp. Ensuite notre etude porte sur les fsp elles-memes pour des operateurs differentiels du type dirac. En presence de supersymetrie, nous montrons qu'elles sont directement reliees a des fsp pour des operateurs du type schrodinger. Les resultats connus donnent alors assez facilement le comportement asymptotique. Ce sera le cas de l'operateur de hodge-dirac sur une variete non-compacte (dont le carre est l'operateur de hodge-laplace agissant sur les formes) et de l'operateur de dirac relativiste avec champ magnetique. Par contre, l'operateur de dirac relativiste avec champ electro-magnetique necessite une etude nouvelle. Pour cet operateur nous cherchons a obtenir un developpement asymptotique a hautes energies de la fsp et un resultat de limite non-relativiste (i. E. Un developpement de la fsp quand la vitesse de la lumiere c tend vers +#). Via une methode de separation des energies negative et positive, nous adaptons les techniques employees par d. Robert pour des operateurs du type schrodinger. Nous obtenons alors une formule du type weyl pour la fsp associee a l'operateur de dirac relativiste. Pour l'etude de la limite non-relativiste, nous utilisons la representation stationnaire de la matrice de diffusion. Par une methode de dilatation sur l'energie, on obtient la regularite par rapport a c#-#1 de la fsp et sa convergence vers la fsp associee a un couple d'operateurs de pauli