Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude de quelques problemes de l'equation des ondes elastiques (appee systeme d'elasticite). Le premier chapitre pose precisement le probleme des resonances (ie poles de scattering) associees a l'operateur de l'elasticite a l'exterieur d'un obstacle quelconque avec des conditions de dirichlet ou de neumann sur le bord. On montre en outre l'existence d'un voisinage exponentiellement petit de l'axe reel ne contenant pas de resonances. Ce qui entraine, pour des donnees initiales regulieres, que l'energie locale associee a l'equation des ondes elastiques decroit comme l'inverse du logarithme du temps. D'apres les travaux de vodev-stefanov, notre resultat est optimale dans le cas de la condition de neumann sur le bord. Dans un deuxieme chapitre, on s'interesse au probleme de la stabilisation de l'equation des ondes elastiques dans un domaine borne, ie la stabilisation par le bord avec un terme dissipatif et la stabilisation interieur. En outre, sans aucunes hypotheses sur la dynamique et pour des donnees initiales regulieres, on montre que l'energie decroit avec une vitesse logarithmique du temps. Pour montrer ce resultat, l'idee est d'estimer la distance entre le spectre du generateur infinitesimal du semi-groupe associe et l'axe reel. Enfin dans le dernier chapitre, on etudie le probleme de l'unicite locale pour le systeme de lame. On prouve qu'on a l'unicite de cauchy par rapport a toute surface non caracteristique. Nous donnons egalement deux resultats de densite qui s'appliquent a la theorie du controle pour le systeme de lame.