Abstract FR:

Le sujet de cette these est d'etudier des theoremes d'inversion locale de nash-moser, pour les appliquer a des problemes de fluides compressibles et a des problemes de bifurcation. L'etude de bifurcation de solutions stationnaires, a partir d'un etat d'equilibre donne, pour un systeme d'equations decrit par les equations de la magnetohydrodynamique (mhd), avec densite variable, ne peut s'exprimer de facon simple a l'aide d'une equation fonctionnelle, comme pour les problemes de fluides incompressibles. On peut obtenir cependant une telle expression en utilisant des techniques de nash-moser adaptees aux problemes de perte de derivee. Dans le premier chapitre, on etudie un probleme de fluide compressible en etat adiabatique (pression = densite a la puissance ) et on poursuit jusqu'a l'etude du probleme de bifurcation. La resolution de ce probleme utilise un theoreme d'inversion locale de nash-moser selon hormander ; on travaille sur des chaines d'espaces de banach : les espaces de holder. Les resultats sont obtenus sur un cube avec des conditions aux limites periodiques. Dans le deuxieme chapitre, on construit un theoreme d'inversion locale de nash-moser selon hormander sur des chaines d'espaces de sobolev definies pour un ouvert suffisamment regulier ou pour un cube avec periodicite. Les espaces de sobolev (h a()) a 0 sont definis comme domaine de puissances d'un operateur autoadjoint compact, puis caracterises par la decomposition spectrale en fonction des vecteurs propres (w j) j , n de regularite maximale et des valeurs propres ( j) j , n de cet operateur. On peut ensuite definir les operateurs regularisants (s j) j , n. A cause du manque de regularite de ces operateurs par rapport a ceux d'hormander, on est contraint de reconstruire un nouveau theoreme. Dans ce nouveau theoreme on a introduit une perte de regularite supplementaire de , perte liee au comportement de la suite des valeurs propres ( j) j , n. Dans le chapitre 3 on applique ce nouveau theoreme a un probleme de fluide compressible dans le cas des gaz parfaits (p = n). On finit par demontrer un resultat de bifurcation en mhd dans un cas restreint. Les resultats de ce chapitre 3 sont obtenus dans les espaces de sobolev, mais de nouveau sur un cube avec des conditions aux limites periodiques.