Abstract FR:

Cette these a pour but d'appliquer la theorie des ondelettes pour la resolution numerique de certaines equations aux derivees partielles. En particulier, on fait une comparaison avec les methodes deja existantes. Elle comporte trois parties: dans la premiere partie, apres avoir rappele les methodes utilisees pour la resolution des problemes elliptiques, on donne un bref apercu sur la theorie des ondelettes et des outils qui lui sont sous-jascents: analyse multi-resolution et algorithmes d'analyse et de synthese. Ensuite, on se consacre au formalisme d'analyse multi-resolution bi-orthogonale, car c'est dans ce cadre que l'on peut utiliser des ondelettes b-splines a support compact, on construit alors une base d'ondelettes bi-orthogonales de regularite donnee sur la droite reelle. Dans la deuxieme partie, on adapte la construction precedente a un intervalle donne, puis on en deduit une base d'ondelettes bi-orthogonale sur le carre par produit de tensorisation. Dans la derniere partie, on resout les problemes de dirichlet et de convection diffusion avec des conditions aux limites homogenes et non homogenes, on fait une comparaison avec les methodes multi-grilles et multi-niveaux (bases hierarchiques d'yserantant et l'algorithme b. P. X de bramble, pasciack, et xu), puis on s'interesse ensuite, a l'utilisations des grilles non uniformes et adaptatives dans le cas bi-dimensionnel, pour les problemes elliptiques et le probleme de burgers