Abstract FR:

On etudie dans cette these deux equations differentielles a derivees partielles paraboliques semi-lineaires via les outils de l'analyse harmonique reelle. On s'interesse d'abord aux solutions continues en temps a valeurs dans un espace de lebesgue critique (solutions milds) des equations de navier-stokes pour un fluide visqueux, incompressible, remplissant tout l'espace en l'absence de forces exterieures. Kato a demontre l'existence de telles solutions. Dans le premier chapitre, en collaboration avec furioli et lemarie-rieusset, on en prouve l'unicite. La preuve repose sur des estimations du terme non lineaire dans un espace de besov convenablement choisi, obtenues a l'aide de la decomposition de littlewood-paley. Ce resultat se generalise aussi a beaucoup d'espaces de banach (par exemple les espaces de besov, de triebel-lizorkin, de morrey-campanato). Dans le deuxieme chapitre on impose aux donnees initiales une propriete supplementaire. En effet on considere les donnees dont le laplacien est une molecule de l'espace de hardy. On montre, en collaboration avec furioli, que cette propriete est conservee par la solution tout au long de sa trajectoire. On etudie ensuite une equation de la chaleur non lineaire avec non linearite polynomiale. Dans le troisieme chapitre on demontre la non unicite des solutions milds a valeurs dans un espace de lebesgue critique de cette equation non lineaire. Pour cela on etend a l'espace entier un contre-exemple de ni et sacks valable dans le cas ou l'espace sous-jacent est la boule de centre o et de rayon 1. On propose aussi un nouveau critere d'unicite desdites solutions. Ces resultats reposent sur des estimations pour le noyau de la chaleur dans les espaces de lorentz, recemment introduites dans le cadre des equations de navier-stokes par meyer.