Abstract FR:

Ce mémoire est divisé en trois grandes parties. La première est consacrée essentiellement à l'étude des produits en probabilités quantiques. Nous donnons une classification complète à l'aide du produit universel défini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les différentes catégories d'algèbres associatives. Ceci nous permet aussi de définir la notion d'indépendance stochastique non-commutative. En particulier nous démontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booléen. La seconde partie est motivée directement par la première. Elle est consacrée à l'étude des processus de Lévy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept généralise la théorie des processus de Lévy sur les algèbres de Hopf (groupes quantiques) où la seule notion d'indépendance est donnée par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Lévy sur un groupe dual est déterminé par son générateur. Comme application directe, nous donnons une réalisation des processus de Lévy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booléen). La troisième partie est consacrée au développement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booléen. En particulier nous introduisons l'intégrale stochastique et nous donnons une formule d'Itô quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'équation différentielle stochastique quantique au sens de R. L. Hudson et K. R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes complètement positifs.