Abstract FR:

L'ALGEBRE ENVELOPPANTE QUANTIFIEE U D'UNE ALGEBRE DE KAC-MOODY SYMETRISABLE G RESSEMBLE A L'ALGEBRE ENVELOPPANTE USUELLE DE G, MAIS EST MUNIE D'UNE STRUCTURE DE COGEBRE NON COMMUTATIVE. NOUS ETUDIONS ICI QUELQUES CONSTRUCTIONS LIEES A L'EXISTENCE D'UN ELEMENT, APPELE <<<>R-MATRICE UNIVERSELLE<>>>, DU CARRE TENSORIEL DE U, QUI CONJUGUE LE COPRODUIT DE U AVEC LE COPRODUIT OPPOSE. SI G EST DE DIMENSION FINIE, L'ALGEBRE A, DUALE DE HOPF DE U, EST UNE DEFORMATION DE L'ALGEBRE DES FONCTIONS REGULIERES SUR LE GROUPE ASSOCIE A G. EN UTILISANT LA R-MATRICE UNIVERSELLE, ON PEUT DEFINIR UNE APPLICATION I DE A DANS U, DONT NOUS MONTRONS L'INJECTIVITE. L'IMAGE DE I EST LA SOUS-ALGEBRE DES ELEMENTS FINIS SOUS L'ACTION ADJOINTE DE U, DECRITE ET ETUDIEE PAR JOSEPH ET LETZTER, ET L'UTILISATION DE I DONNE D'AUTRES PREUVES DE PLUSIEURS DE LEURS RESULTATS. GRACE A I, NOUS POUVONS AUSSI CLASSIFIER CERTAINS IDEAUX DE A, CE QUI CONDUIT AUX GEOMETRIES DIFFERENTIELLES SUR LE GROUPE QUANTIQUE. ENFIN, I APPLIQUE L'ALGEBRE DES <<<>FONCTIONS<>>> DE A INVARIANTES SOUS L'ACTION ADJOINTE SUR LE CENTRE DE U : DANS LE MEME ORDRE D'IDEES, NOUS PROUVONS UN ENONCE, DU A RESHETIKHIN, QUI DEFINIT DES GENERATEURS DU CENTRE DE U A PARTIR DE LA <<<>CONSTRUCTION F. R. T. <>>>. SI G EST L'EXTENSION AFFINE DE SL(N), LES PRODUITS TENSORIELS DE U-MODULES DE DIMENSIONS FINIES DEPENDENT DE L'ORDRE DES FACTEURS. ON PEUT TOUTEFOIS CONSTRUIRE UN FONCTEUR DE TYPE SCHUR-WEYL : SON ETUDE NOUS PERMET DE MONTRER QUE L'ANNEAU DE GROTHENDIECK DE LA CATEGORIE DES U-MODULES DE DIMENSIONS FINIE EST UN ANNEAU COMMUTATIF DE POLYNOMES, AINSI QU'UN THEOREME D'EXISTENCE POUR LES <<<>R-MATRICES TRIGONOMETRIQUES<>>>. SOIT ENFIN G = SL(N). LE Q-GROUPE DE WEYL AGIT SUR LES U-MODULES DE DIMENSIONS FINIES EN STABILISANT LE SOUS-ESPACE DE POIDS ZERO. POUR CERTAINS MODULES, CETTE ACTION SE FACTORISE PAR CELLE D'UNE ALGEBRE DE HECKE. NOUS PROUVONS CE FAIT PAR UNE COMPARAISON AVEC LA DUALITE DE SCHUR-WEYL QUANTIFIEE.