Abstract FR:

Cette these est divisee en quatre chapitres. Le chapitre 0 regroupe un cerain nombre de definitions et resultats classiques utiles pour la suite. Dans le chapitre 1 nous generalisons la notion de modules de cohen-macaulay. Auparavant, nous definissons la profondeur d'un module de type fini sur un anneau ntherien non necessairement local. En effet, soit m un module de type fini sur un anneau ntherien a: prof#a(m)=supprof#a#n(mm)/m,max(a) est appele la profondeur de m sur a. Nous avons prof#a(m)dimm ou dimm designe la dimension de krull; en cas d'egalite, m est dit quasi-macaulay. Nous etudions par la suite les profondeurs de certains modules. Nous etablissons en particulier: a) prof m/(x#1,. . . , x#n)=prof mn, pour toute m-suite reguliere x#1,. . . , x#n de rad(a); b) prof ax#1,. . . , x#n= prof a+nprof ax#1,. . . , x#n; c) prof aprof a, ou a est le i-complete de a pour un ideal i de a. L'egalite a lieu si irad(a). On en deduit que a est quasi-macaulay si et seulement si ax#1,. . . ,x#n est quasi-mcaulay, ou x#1,. . . ,x#n sont des indeterminees sur a. Dans le chapitre ii, nous considerons l'homomorphisme local plat (a,m)(b,m) d'anneaux ntheriens et nous etudions la relation existant entre la y-dimension de a et b. Nous montrons que: y-dim(b)=y-dim(a)+y-dim(b/mb) si, et seulement si, m#2mb=m. Mb. Suivent des applications sur les anneaux de polynomes, les anneaux de series formelles et les anneaux completes. Dans une deuxieme partie, nous etendons la definition de la y-dimension a un anneau ntherien non necessairement local: y-dim(a)=supy-dim(ap)/p,spec(a)=supy-dim(am)/m,max(a). Nous etudions ensuite la y-dimension des anneaux de polynomes, de series formelles, des anneaux completes et d'autres anneaux; nous trouvons ainsi des resultats analogues a ceux etablis sur la dimension de krull. Dans le chapitre iii, nous etudions les proprietes des anneaux dont la y-dimension coincide avec la dimension de krull (anneaux quasi-reguliers). On demontre que a est quasi-regulier si, et seulement si, ax#l,. . . ,x#n est quasi-regulier si, et seulement si, ax#1,. . . ,x#n est quasi-regulier. Ensuite, nous definissons les anneaux presque-reguliers qui generalisent les anneaux quasi-reguliers. Nous terminons ce chapitre par la construction d'exemples originaux d'anneaux quasi-reguliers. L'etude menee dans cette these nous permet la generalisation de plusieurs resultats deja connus sur les modules de cohen-macaulay et les anneaux reguliers