Abstract FR:

Soit (a**(t))::(t0) un semi-groupe continu, et soit a l'algebre engendree par (a**(t))::(t0). On se propose de demontrer que si a n'est pas unitaire, alors les distances ||a**(2t)-a**(t)|| et ||a**(3t)-a**(t)|| ne peuvent pas devenir trop petites pres de l'origine. Plus precisement, on a dans ce cas lim sup ::(t->o::(+)) ||a**(2t)-a**(t)|| >ou= 1/4 et lim sup ::(t->o::(+)) ||a**(3t)-a**(t)||2/3sp3. Si lim sup ::(t->o::(+)) ||a**(2t)-a**(t)||1/4 ou bien si lim sup ::(t->o::(+)) ||a**(3t)-a**(t)|| 2/3sp3, alors a est unitaire, et (||a**(3t)-a**(t)|| + ||a**(2t)-a**(t)||)::(t->o::(+)) ->0. Un contre exemple, dans l'algebre c::(0), montre qu'on ne peut pas remplacer lim sup par lim inf. On presente un calcul dans l'algebre du disque (a(d)), et on montre que lim sup ::(t->0::(+)) ||a**(2t)-a**(t)|| = 1/4 et lim sup ::(t->0::(+)) ||a**(3t)-a**(t)|| = 2/3sp3. Cela prouve qu'on a les bonnes constantes dans les resultats ci-dessus. En utilisant les resultats de j. Esterle (2) et les resultats ci-dessus, on deduit d'autres resultats. En particulier, si a n'est pas unitaire, et si a possede une u. A. B. S (e::(n)) telle que lim inf ::(n->+infini) ||e::(n)**(3)-e::(n)|| 2/3sp3, alors, il existe une suite (u::(m)) d'ouverts et compacts non vides de a telle que a = union u::(m) ::(m >ou= 1), et u::(n) inter u::(m) = non0 si n non=m. Enfin, on applique les resultats obtenus aux contractions t d'un espace de banach e