Abstract FR:

L'objet de cette these est l'etude d'une bande elastique isotrope et multistratifiee de r#2 (l'origine du probleme est un modele rencontre en prospection petroliere) : il s'agit de faire l'analyse spectrale d'un operateur auto-adjoint a, et en particulier d'obtenir un principe d'absorption limite (pal). Notre demarche consiste a etudier la bande simplement stratifiee d'abord, puis a appliquer une methode perturbative. On distingue trois parties : 1. Stratification simple : on montre (en utilisant la transformation de fourier partielle) que a est unitairement equivalent a l'operateur de multiplication par les fonctions #n, n 1, representees par les courbes de dispersion. Nous mettons en evidence un phenomene original non encore observe : la non monotonie systematique sur r#+ de #n. Ceci a motive l'etude detaillee de l'operateur de multiplication dans un cadre abstrait. Cette derniere etude est d'une grande importance car elle permet, d'une part, d'obtenir un pal et un theoreme de division pour a et, d'autres part, de traiter immediatement toute une classe d'operateurs. Nous avons consacre une partie importante du travail a l'etude detaillee des courbes de dispersion. En particulier, a l'etude du comportement asymptotique, des proprietes de symetrie ainsi que des seuils. Dans le cas homogene nous affinons les resultats en faisant des calculs explicites. 2. Stratification complexe : on applique une methode perturbative et on obtient un pal. Nous etudions par ailleurs le spectre essentiel et les fonctions propres generalisees. La difficulte rencontree est la non stabilite du domaine de a par troncature. Nous levons cette derniere en travaillant avec une extension de a. Le developpement mathematique necessaire pour cela est consequent. 3. Etude numerique des courbes de dispersion : nous illustrons et completons les resultats prouves theoriquement. Une originalite de notre travail est de proposer une deuxieme methode de calcul (en plus de la methode de la discretisation en elements finis) utilisant la relation de dispersion pour des milieux non homogenes.