Abstract FR:

Cette these comprend deux parties independantes. La premiere s'interesse a l'etude des fonctions harmoniques par rapport a une classe d'operateurs elliptiques qui degenerent au bord de la boule unite de c#n. Ces operateurs, introduits la premiere fois par d. Geller et developpes par p. Ahern, j. Bruna et c. Cascante, sont lies de facon geometrique a la metrique de bergman. On etablit des theoremes d'unicite et d'approximation pour ce type de fonctions. La reduction de nos resultats au cas particulier de l'operateur de laplace-beltrami de la metrique de bergman permet de retrouver des travaux recents d'approximation et d'unicite de j. Bruna et des travaux d'unicite de k. T. Hahn. La seconde partie traite de la theorie de bergman a poids sur la boule minimale. On expose une methode nouvelle et analytique qui permet, d'une part, de calculer le noyau de bergman a poids de la boule minimale, generalisant ainsi un theoreme de k. Oeljeklaus, p. Pflug, et e. H. Youssfi et, d'autre part, d'etudier la continuite des projecteurs de bergman et de la conjugaison harmonique associes a cette boule. Il est a noter que nos resultats sont les premiers obtenus en matiere de regularite sur des domaines non homogenes a bord singulier (le bord contenant tout de meme une majorite de points de stricte pseudoconvexite. Ils permettent de mettre en evidence le role qu'occupe la singularite dans cette theorie et montrent que la situation dans les domaines singuliers differe de celle deja connue dans les domaines reguliers.