Abstract FR:

Dans toute preuve géométrique un certain nombre de connaissances sont lues à partir des figures. Il s'agit de connaissances préconstruites ou naturalisées. Toutefois la quantité et la nature de ces connaissances varient considérablement d'un mathématicien à l'autre en fonction du projet, du public visé et des enjeux de preuve. Pour analyser et préciser ces variations, nous avons étudié plusieurs ouvrages anciens de géométrie plane rédigés par des mathématiciens ; au premier chef les Eléments d'Euclide. Ces études montrent que les pratiques de preuve sont très variées. Les variations (d'un auteur à l'autre) et les variabilités (chez un même auteur) sont en grande partie dues à divers modes de gestion de l'implicite et de l'évidence. En fait l'explication totale des connaissances -bien qu'elle soit possible à l'aide de l'axiomatique de la géométrie plane de D. Philibert (1899)- rend inextricable le texte de la preuve. Ainsi cette lecture de connaissances géométriques sur le mode de l'évidence graphique se présente comme une contrainte épistémologique lors de la rédaction d'un texte de preuve. Toutefois les programmes et les manuels relatifs à l'enseignement et à l'apprentissage de la démonstration en géométrie au collège, ne prennent pas 'suffisamment) en charge cette contrainte épistémologique. Bien au contraire, nous avons relevé dans les textes des programmes, des incohérences et des flous liés à des usages de l'implicite et de l'évidence qui sont problématiques pour l'enseignant. Nous montrons en quoi ces choix en matière de transposition didactique créent des contraintes à la charge du professeur qu'il ne peut assumer valablement vu sa formation mathématique insuffisante. En effet notre étude du rôle de l'enseignant met à jour les difficultés de celui-ci à organiser un milieu d'apprentissage de la démonstration favorisant le passage de l'élève d'une géométrie pratique justifiée par l'observation à une géométrie théorique validée par une démarche intellectuelle de preuve. Il serait alors nécessaire que le projet de l'enseignement de la géométrie soit porteur d'une problématique explicite permettant d'apporter des réponses claires aux questions suivantes : pourquoi et quand rédiger et communiquer un texte de démonstration et comment le faire du point de vue du maniement des connaissances géométriques, de l'usage de la figure et de l'organisation déductive.