Abstract FR:

Le sujet de cette these est l'etude de quelques aspects de la theorie des fonctions m-harmoniques sur la boule b unite de c n, qui sont les fonctions harmoniques par rapport a l'operateur de laplace-beltrami associe a la metrique de bergman de b. Ce dernier est un operateur du second ordre, invariant par les automorphismes de b et dont l'ellipticite degenere au bord de b. Les fonctions m-harmoniques sont les fonctions qui possedent les proprietes de valeur moyenne invariante planaire ou spherique sur toutes les boules ou spheres geodesiques de la metrique appelees de bergman. L'objectif est d'etablir des resultats analogues a ceux connus dans le cas euclidien pour les fonctions harmoniques. Dans une premiere partie, notre travail a porte sur la caracterisation de ces boules en termes de proprietes de moyenne spherique invariante. Nous avons montre par des arguments de theorie du potentiel invariant sur b que les boules de bergman sont les seuls domaines relativement compacts de b, pour lesquels la propriete de moyenne invariante dans la metrique sur le bord du domaine est verifiee en un point par toutes les fonctions m-harmoniques sur un voisinage du domaine. Pour cela, il est etabli une propriete de saut sur le bord du domaine de la derivee normale dans la metrique du potentiel invariant simple couche. Ensuite, par des techniques pluripotentielles et d'equations aux derivees partielles, nous avons etudie le probleme de hele shaw pour les fonctions m-harmoniques montrant ainsi qu'il existe des domaines de b autres que les couronnes, tels que le point 0 appartienne a une composante connexe bornee de leur complementaire et pour lesquels les fonctions m-harmoniques au voisinage de leur enveloppe simplement connexe, prennent pour valeur moyenne invariante sur le domaine la valeur en zero. Enfin, nous avons complete notre travail par la resolution du probleme de pompeiu, concluant ainsi a la m-harmonicite de toutes les fonctions qui verifient la propriete de moyenne invariante en tout point de b sur deux boules de bergman de rayons fixes.